犯罪嫌疑人被羁押在看守所一个月的，如果被法院判处刑罚的，会留下案底。看守所是羁押依法被逮捕、刑事拘留的人犯的机关。被判处有期徒刑一年以下，或者余刑在一年以下，不便送往劳动改造场所执行的罪犯，也可以由看守所监管。
法律依据:
《中华人民共和国看守所条例》第二条
看守所是羁押依法被逮捕、刑事拘留的人犯的机关。
被判处有期徒刑一年以下，或者余刑在一年以下，不便送往劳动改造场所执行的罪犯，也可以由看守所监管。
《中华人民共和国看守所条例》第三条
看守所的任务是依据国家法律对被羁押的人犯实行武装警戒看守，保障安全；对人犯进行教育；管理人犯的生活和卫生；保障侦查、起诉和审判工作的顺利进行。
