政府处理流浪猫狗的方式为：政府定期捕捉流浪猫狗；捕捉后的流浪猫狗由专业机构收养，并发布领养信息；领养机构接受国家一部分拨款和社会捐款，款项用于人工费用，猫狗的食宿等。
法律依据:
《中华人民共和国政府信息公开条例》第七条
各级人民政府应当积极推进政府信息公开工作，逐步增加政府信息公开的内容。
《中华人民共和国政府信息公开条例》第八条
各级人民政府应当加强政府信息资源的规范化、标准化、信息化管理，加强互联网政府信息公开平台建设，推进政府信息公开平台与政务服务平台融合，提高政府信息公开在线办理水平。
《中华人民共和国政府信息公开条例》第九条
公民、法人和其他组织有权对行政机关的政府信息公开工作进行监督，并提出批评和建议。
