依据致密性定理，有界数列必有收敛子列，收敛子列的极限中的最大者与最小者特别重要，这就是数列的上、下极限的概念。
上限和下限介绍
依据致密性定理，有界数列必有收敛子列，收敛子列的极限中的最大者与最小者特别重要，这就是数列的上、下极限的概念。
上限和下限定义和例子
有界数列
，令则 递增， 递减，且 。记
分别称为数列 的下极限和上极限，记作
上限和下限注
如果数列
无上界，则记 ；如果数列 无下界，则记 。这样对任何数列取上极限和下极限都是有意义的。上限和下限例1
上限和下限上、下极限的性质
上限和下限定理1
对任何有界数列
有上限和下限定理2
的充要条件是
上限和下限定理3
设
为有界数列（1）
为 上极限的充要条件是：任给 ，（i）存在
，使得当 时有 ；（ii）存在子列
，（2）
为 下极限的充要条件是：任给 ，（i）存在
，使得当 时有 ；（ii）存在子列
，上限和下限定理4
设
为有界数列，（1）
为 上极限的充要条件是：对任何 ， 中大于 的项至多有限个；对任何 ， 中大于 的项有无限多个。（1）
为 下极限的充要条件是：对任何 ， 中小于 的项至多有限个；对任何 ， 中小于 的项有无限多个。上限和下限定理5（上、下极限的保不等式性）
设有界数列
满足：存在 ，当 时有 ，则特别地，若 为常数，又存在 ，当 时有 ，则
上限和下限定理6
设
为有界数列，（1）
为 上极限的充要条件是（2）
为 下极限的充要条件是上限和下限例2
设
为有界数列，证明证 设
由定理3，对任给的，存在，当时有再利用上极限的保不等式性（定理5）得
故由的任意性得，即可证明结论成立。
