井田问题是一个数字问题。
井田问题介绍
井田问题是一个数字问题。
井田问题内容
已知：一凸四边形ABCD，E,F,G,H,I,J,K,L分别为其四边上的三等分点
求证：四边形PQRS的面积为四边形ABCD面积的1/9
井田问题证明
张景中院士一本《新概念几何》中给出了证明，但是用到到了定比分点公式（不是解析几何那个），这里将证明简化一下： 证明分两步，如下：
第一步：证明四边形LKHG面积为四边形ABCD面积的1/3
连接BL,BD,HL,HD∵AL=LK=KD=1/3AD
∴LD=2/3AD
∴S△BDL=2/3*S△ABD ……(1)
同理S△BDH=2/3*S△BCD ……(2)
（1）+
（2）得：
四边形BLDH面积=S△BDL+S△BDH
=2/3*S△ABD +2/3*S△BCD
=2/3（△ABD +S△BCD）
=2/3四边形ABCD面积
∵LK=KD=1/2LD
∴S△LKH=1/2*S△LDH
同理S△LGH=1/2*S△BLH
∴四边形LKHG面积=S△LKH+S△LGH
=1/2*S△LDH+1/2*S△BLH
=1/2*四边形BLDH面积
=1/2*2/3*四边形ABCD面积
=1/3四边形ABCD面积
第二步：证P,R,Q,S是GL,HK的三等分点
由三等分点知：BF=1/3AB,BG=1/3BC
∴FG∥AC，FG=1/3AC同理LI∥ACLI=2/3AC
所以FG∥LI，FG=1/2LI
∴△ILP∽△FGP=>PI=2FP,PL=2PG
∴P为GL三等分点
同理可证Q,R,S为三等分点
所以四边形PQRS面积=1/3*四边形GHLK面积=1/9四边形ABCD面积
证毕。
