在数学中，矩阵或者有界线性算子的谱半径是指其特征值绝对值集合的上确界，一般若为方阵A的谱半径则写作ρ(A)。
谱半径介绍
在数学中，矩阵或者有界线性算子的谱半径是指其特征值绝对值集合的上确界，一般若为方阵A的谱半径则写作ρ(A)。
谱半径定义
设
有幺元的复巴拿赫代数，a为的元，a的谱为。则a的谱半径为谱半径正规元的谱半径
若x为含幺C*代数的正规元，则x的范数等于其谱半径。
谱半径方阵的谱半径
若
是复数域上的n阶方阵，又 是A的全部特征值，则称为A的谱半径。
谱半径谱半径的估计
在讨论矩阵的范数时，我们知道，矩阵A的每一个特征值的模(绝对值)，都不超过矩阵A(在任意一种矩阵范数
定义下)的范数 即 。由此即得：
谱半径定理1
复数域上的任一n阶方阵
的谱半径 都不超过A的范数 即这里 是任一方阵范数。
若取方阵范数
为 ， 或 ，则有下面的推论：谱半径推论
（1）
（2）
（3）
这里
为矩阵 的最大特征值。当
是正规矩阵时，则有下述定理。谱半径定理2
若A为n阶正规矩阵，则
证明 因A是正规矩阵，故存在酉矩阵P，使得
由此可得
从而
又显然有
这里是 中的某一值，因此有
而
所以 证毕。
由于对角形矩阵、实对称矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵、酉矩阵、厄米特矩阵、反厄米特矩阵都是正规矩阵，所以对于它们都具有性质
。谱半径定理3
对任意
，存在 上的某种矩阵范数 ，使得对任意 恒有注意：这里的矩阵范数
与矩阵A无关。
