牛顿旋转轨道定理

在经典力学里，牛顿旋转轨道定理（Newton's theorem of revolving orbits）辨明哪种有心力能够改变移动粒子的角速度，同时不影响其径向运动。艾萨克·牛顿应用这理论于分析轨道的整体旋转运动（称为拱点进动）。月球和其他行星的轨道都会展现出这种很容易观测到的旋转运动。有心力的方向永远指向一个固定点；称此点为力中心点。径向运动表示朝向或背向力中心点的运动，角运动表示垂直于径向方向的运动。

牛顿旋转轨道定理历史背景

过去几千年来，天文学家有系统地观测天空中的星体运动，发现各种各样的恒星有规律地绕行，相对位置永远保持不变。可是，也有一些星体被观测到“漫游”于这些以恒星为背景的前方，其轨迹比较难以捉摸，大多数这种星体被称为行星。虽然它们通常沿着一条路径循着同样方向从天空的这一端移动到那一端（请参阅黄道），但是某些独特的行星有时候会短暂地逆转其移动方向，显示出逆行运动。

为了描述这种忽前忽后的运动，阿波罗尼奥斯（西元前262年–前190年）提出均轮与本轮（deferent and epicycle）的概念。按照这概念，行星的本身绕行的轨迹为一个圆圈，而这个圆圈的圆心又循着另一个圆圈的轨迹绕行；如此这般一个搭著一个，就像儿童乐园里的咖啡杯游戏一样。任意轨道可以用足够数量、仔细设定的本轮来模拟，因为这方法对应于现代的傅里叶变换。大约350年后，托勒密编纂出《天文学大成》。在这本书里，他发展出来的系统能够比美那时代最准确的天文观测。托勒密采用亚里斯多德的地心学说来解释自己发展出来的系统。地心学说强调行星只能运行于以地球为圆心的同心圆球面。之后的一千多年，学术界公认这是最正确的宇宙模型。

在16世纪，由于天文学家第谷·布拉赫和物理学家约翰内斯·开普勒的共同努力，研究出许多关于行星运动的科学理论。经过多年披星戴月、不眠不休地细心观测，第谷获得许多非常准确的行星运动数据。第谷慷慨无私地将这些数据托付给开普勒，使他能够专心研究这些数据，因而推论出关于行星运动的开普勒定律。根据这定律，在太阳系里，各个行星绕着太阳（不是地球）公转；这公转轨道的形状是椭圆形，而不是本轮形。开普勒第二定律和第三定律更给出具体的预测数值：在相等时间内，太阳和公转中的行星的连线所扫过的面积都是相等的（称此连线为行星的连心线）；绕着太阳的各个行星，其公转周期的平方与其椭圆轨道的半长轴的立方成正比。后来，更准确的观测又显示出，由于拱点进动，椭圆的长轴也会随着时间演进而缓慢地旋转。轨道近拱点和远拱点分别是行星的公转轨道离椭圆焦点（力中心点）最近或最远的位置，又共称为拱点。对于绕着太阳的行星的公转轨道，近日点和远日点都是拱点。

大约80年后，于1687年，牛顿发表了《自然哲学的数学原理》。在这本巨著里，牛顿创建的物理理论能够完全解释开普勒的三条定律。这理论建构于牛顿运动定律和牛顿万有引力定律。牛顿提出，任意两个物体彼此之间相互作用的引力是一种有心力，大小与这两个物体各自的质量乘积成正比，与这两个物体之间的距离平方成反比。从他的运动定律来论述，感受到这种作用力的任意粒子的轨道是圆锥曲线，更明确地说，假若这轨道不延伸至无穷远，则必会呈椭圆形。可是，这结论只成立于当系统里只有两个物体（二体问题）的案例。在牛顿之后已有几百年了，虽然科学家能够找到一些特别案例的解答，像欧拉三体问题（Euler's three-body problem）的解答，三个或三个以上的物体因为相互的引力作用而呈现的运动（三体问题、多体问题）仍旧无解。牛顿建议，由于太阳的引力是主掌的作用力，足以掩盖其它作用力，取至一阶近似，其它行星的影响可以被忽略，因此，行星绕着太阳的公转轨道大约为椭圆形。同理，月亮绕着地球的椭圆形公转轨道，所牵涉到的的作用力，极大部分是地球引力，而太阳的引力和其它太阳系的天体的引力都可以被忽略。但是牛顿也表明，行星轨道和月球轨道的拱点进动是这些被忽略的作用力所造成的；特别是月球轨道的拱点进动是因为太阳引力的微扰效应所产生的现象。

牛顿旋转轨道定理数学概述

设定一个感受到任意有心力F、质量为m的移动中的粒子，由于其运动为平面运动，粒子的位置可以以极坐标表示。设定极坐标系的原点于力中心点。随着时间演进，移动于轨道的粒子的极坐标是时间t的函数。

设定另一个感受到有心力

、质量为m的移动中的粒子，径向运动也是r(t)，但是角速度是第一个粒子的k倍；也就是说，两个粒子的角坐标的关系式为。

牛顿表明，增添一个立方反比有心力，将这有心力与

共同施加于第二个粒子，就可得到想要的运动：

其中，

是第一个粒子的角动量，是有心力的一个运动常数（守恒量）。称这方程为“增力方程”。

增添立方反比力会使得粒子的运动路径也有所改变。由于主要目标是要了解径向变量和角变量之间的关系，所以不需考虑径向运动和角运动对于时间的关系。为了达到这目标，不限制角变量必须在0至

之间；随着粒子一圈又一圈地绕着力中心点公转，角变量可以无定限地递增。例如，假设粒子绕着力中心点公转两圈，然后绕到初始位置，其终结角度不等于初始角度，而是增加了2×360° = 720°。角变量正式定义为角速度的积分：

其中，

分别为第一个粒子和第二个粒子的角速度。

假设第一个粒子的路径表示为

，则因为

，第二个粒子的路径应该表示为。

例如，令第一个粒子的椭圆路径为

其中，A和B都是常数。

那么，第二个粒子的路径应为

牛顿旋转轨道定理近圆形轨道极限

在《自然哲学的数学原理》，第一册命题45里，牛顿应用他的旋转轨道定理发展出一套新方法，能够寻找出主掌行星运动的作用力定律。开普勒发觉大多数行星和月球的轨道似乎是椭圆形的，这些椭圆的长轴可以从天文测量数据中准确地计算出来。长轴定义为连接近拱点（离力中心点最近距离点）和远拱点（离力中心点最远距离点）的直线段。例如，水星轨道的长轴定义为连接其近日点和远日点的直线。经过一段时间，由于其它星体的引力微扰、吸引体的扁球形状（oblateness in the attracting body）、广义相对论效应和其它效应，大多数行星轨道的长轴会缓慢地旋转。这现象称为拱点进动，看起来好像整个轨道在缓慢地旋转。通常来说，行星每完成一个公转，长轴旋转的角度不多过几度，有时候会是相当微小。但是，只要等待足够长久时间，长轴旋转的角度可以很容易地被测量出来。牛顿的新方法就是应用这拱点进动来侦测行星感受到的是哪种作用力。

牛顿旋转轨道定理月球轨道的进动

使用精密的仪器，经过细心地勘测，可以准确地获得月球运动的数据。分析这些数据，天文学家发觉，月球的运动比其它行星的运动更为复杂。古希腊天文学家喜帕恰斯和托勒密注意到月球轨道有许多周期性的变化，像轨道离心率的小振动、轨道面与黄道面之间的轨道倾角的小规模振动。这些振动通常发生频率为每月一次或每月两次。拱点线缓慢地进动，周期大约为8.85年，而交点线（轨道面与黄道面的交集）旋转一周期需要大约双倍时间18.6年。这事实解释了蚀大约为18年的周期，称为沙罗周期。但是，这两条线的运动都会经历到月时间尺寸的小规模变动。

1673年， 杰雷米亚·霍罗克斯发表了一个相当准确的月亮运动模型，月亮被认为是依循着一条进动中的椭圆轨道公转。假若能够有一个足够准确又简单的预测月亮运动的方法，则计算船只位置的经度的航海问题应该可以迎刃而解。月球直径大约为30角分。在牛顿那年代，目标是预测月亮位置至误差不大于2角分，即地球经度的1度误差。霍罗克斯模型能够预测月亮位置至误差不大于10角分。

牛顿旋转轨道定理推广

于1687年，牛顿发表了他的定理，即《自然哲学的数学原理》，第一册命题43至命题45。但是，如同天文物理学家学家钱德拉塞卡在他的1995年关于这本巨著的评论中指出，已经过了三个世纪，这理论仍旧鲜为人知，有待发展。

于2000年，玛侯嵋与娃达共同发表了牛顿旋转轨道定理的第一个推广。他们假设第二个粒子的角运动是第一个粒子的k倍。但是，与牛顿不同，他们不要求两个粒子的径向运动相同，而是要求两个径向运动的关系式为

其中，a和b都是常数。

这变换改变了粒子的路径。假设第一个粒子的路径写为

，则第二个粒子的路径写为

假设第一个粒子感受到的作用力为

，则第二个粒子感受到的作用力为

按照这方程，将第一个作用力标度化，改换其参数，然后再增添平方反比有心力和立方反比有心力，就可以得到第二个作用力。

稍微比较一下，设定a=1和b=0，则这方程约化为牛顿旋转轨道定理的增力方程，注意到

，符合牛顿旋转轨道定理里径向运动保持不变的条件。对于这案例，原本的作用力没有被标度化，参数保持不变，又增添了立方反比有心力，但增添的平方反比有心力等于零。还有，第二个粒子的路径是

，与第一个粒子的路径相同。