重力归算

重力归算（gravity reduction）是指将地面观测的重力值归算到大地水准面或其它参考面上的过程。重力归算所包含的内容可以分为两个方面：一是消除观测点高度不同对观测结果的影响；二是消除物质分布不规则对观测结果的影响。

重力归算简介

应用斯托克斯理论研究地球形状。需要知道大地水准面上的重力异常△g，即要求把地球表面上观测的重力归算到大地水准面上，而且要求大地水准面外不存在物质。这就需要对地球进行调整，使其全部质量都归入到大地水准面内部去，然后将实测重力值归算到大地水准面上。显然，质量的移动将使重力值和大地水准面形状都发生变化。人们要求在质量移动时，地球的总质量、质心位置和大地水准面形状都保持不变。直到目前为止，还没有全面彻底的解决方法，只是各个学者从不同的观点出发，提出了各人的归算方法，而这些方法又都有各自的优缺点。下面简述几种常用的归算方法。

重力归算归算方法

重力归算空间改正

空间改正是将海拔高程为h的重力点P上的重力值g归算为大地水准面上P₀点的重力值g₀(图1)。归算时不考虑地球表面和大地水准面之间的质量，只考虑高程h对重力的影响。设重力在没有质量的自由空间的垂直梯度为∂g/∂h，则把地面上的重力值g归算为大地水准面上P₀点的重力值g₀的空间改正为：

由于实际重力垂直梯度并不知道，通常用φ=45°处的正常重力垂直梯度∂g/∂h=-0.3086mGal/m，于是：

式中h以m为单位。

将地面点的重力观测值g加上空间改正△_1g后，再与正常椭球面上的正常重力值γ，相减，得：

称为空间重力异常，它的数值与地面重力异常相差极其微小，但两者概念不同。

重力归算布格改正

空间改正没有顾及地面和大地水准面之间的质量对重力的影响。这一层间质量对地面点P的重力影响的改正，称为层间改正。现在要把这一层间质量去掉；没有这一层质量，地面点的重力值显然要减小，故层间改正为负值。

现在推导地面点P的水平面与大地水准面之间的质量对P点的引力。因为远离P点的地区对P点的引力影响不大，而在P点的邻近，地球的曲率可不考虑。因此，可以假设这一质量层不是球层，而是密度为δ的均质圆柱层(图2)。在此圆柱层中取一质元dm，它对P点的引力在重力方向上的分量为：

；对于厚度为h、半径为a的整个圆柱体的质量来说，它对P点的引力为：

在

时：

地球表面上的重力值，可以近似地看成是一个半径为R的均质圆球的引力，即：

式中

为地球的平均密度，由此得：

取g=980 000mGal，R=6371km，

=5.52 g/cm，则得F_z=0.0418hδ。由于层间改正是去掉这一部分引力。故：

式中δ以g/cm为单位，h以m为单位，Δ_2g以mGal为单位。δ通常采用2.67g/cm，则层间改正为：

通常将层间改正和空间改正之和称为布格改正，即：

布格异常为：

重力归算局部地形改正

在进行布格改正时，认为计算点P的周围是平坦的，且物质的密度相同。实际情况并非如此，特别是在丘陵区和山区。设P点周围的地形分布如图3所示，若视该点周围地形是平坦的，只加层间改正，则质量m1和m3对P点的引力就没有去掉，而原来不存在的质量m2和m4却被认为对P点有引力，并把它们扣除了。这样就必然引起误差。为此，必须先扣除质量m1和m3的引力，并补上质量m2和m4的引力，然后再加层间改正。这种去掉高出P点水平面的质量和补上P点水平面之下缺少的质量所应加入的改正，称为局部地形改正，以Δ_3g表示。由于高出P点水平面的质量对P点的引力(例如F1)向上，它使P点的重力减小，而去掉这些质量应使P点的重力增大；P点水平面下没有质量的地方要填进质量，它对P的引力(例如F4)向下，使重力增大。所以不论周围地形是高出P或低于P，局部地形改正总是正值。

如图4，以计算点P为中心，以不同的半径r_i作圆柱面，将周围地形质量划分为圆环柱体。又过P作一些辐射线，将每个圆环柱体等分为n块梯形柱体。第i个圆环第k个梯形柱体引起的局部地形改正为：

式中A_k和A_k+1为该梯形两侧辐射线的方位角，而：

r_i和r_i+1为梯形柱体的内、外半径，h_ik为该梯形柱体相对于计算点P的平均高差。积分上式得：

n_i为第 i 环等分的梯形数。总的局部地形改正为：

将局部地形改正与布格异常相加，即得“精化的”布格异常。局部地形改正在平坦地区可达0.1~1.0mGal，在高山地区则可达10~100mGal。

如果地面观测的重力值g只加入空间改正和局部地形改正，再减去正常椭球面上相应的正常重力值，则得出法耶异常：

重力归算地壳均衡改正

现有三种地壳均衡模型，其中以普拉特-海福德模型比较简单，适用于重力归算。这一模型认为，海面以下某一深度D处有一等压面，称为抵偿面；若将地壳分割成许多截面相等的柱体(图5)，各柱体的质量是相等的。各柱体海面以上的部分，物质密度是地壳平均密度δ；海面以下的部分，物质密度小于δ，假设为

称为抵偿密度。

容易看出，对观测重力值加入均衡改正，就是求出各个柱体的抵偿密度为δ₀的质量对计算点的引力；因此，只要在第i个圆环第k个梯形柱体引起的局部地形改正公式中将z的积分限从0到h_ik换为从h到h+D，h为计算点P的高程。将地壳的平均密度δ换成抵偿密度δ₀，则可直接得出大陆地区的均衡改正公式：

式中n_i为第 i 环等分的梯形数；h_ik为第 i 环第 k 个梯形柱体高出海面的平均高程。

对于大陆来说，均衡改正是将海面以外的质量移到海面至抵偿面之间，使之成为均质厚层，所以应该在观测重力值中加上它。对于海洋地区来说，均衡改正计算公式相同，仅抵偿密度不同。

观测重力值加入空间改正、局部地形改正、层间改正和均衡改正，再减去正常椭球面上相应的正常重力值，即得均衡异常：

重力归算算法比较

现在比较上述4种重力归算方法的优缺点，看哪一种方法最能符合前面所提出的调整后地球的以下要求：

(1)大地水准面外没有质量；

(2)不改变地球质心位置；

(3)地球总质量不变；

(4)不改变大地水准面形状。

下列符号表示归算后的重力值：

观测重力：g；

经空间改正后的重力： g_空=g+Δ_1g；

经法耶改正后的重力： g_挂=g+Δ_1g+Δ_3g；

经布格改正后的重力： g_布=g+Δ_1g+Δ_2g或g_布=g+Δ_1g+Δ_2g+Δ_3g；

经均衡改正后的重力： g_均=g+Δ_1g+Δ_2g+Δ_3g+Δ_4g；

4种归算方法的物理意义：如图6所示，其中(a)表示P点的观测重力值；将此值加上空间改正后，相当于将P点下降到海面MM上，但不改变影响P点的地壳质量引力，这就好像把高出海面的质量按原来的状态压入海面内。图6中(b)是与g_空相应的图；在g_空再加上局部地形改正后，相当于将P点周围地形除去凸出部分和填平凹下部分，使得P点周围形成平坦地形，所以g_法相当于图6中的(c)。当重力点离开平面层的距离和平面层的半径比起来很小时，平面层的引力与重力点到层面的距离无关，因此可将厚度为h的平面层分为无限薄的许多层，并将它们全部压缩成一片无限薄的平面层，这样对P点的引力作用不变，这就相当于图中6的(d)，所以(c)和(d)的意义是一样的。重力观测值加上布格改正，相当于将高出大地水准面的平面层的质量移开，即相当于图6中(e)，再经过均衡改正后，相当于地球自然表面和海面相合；将地形质量填补在海面与抵偿面之间，使地壳构造均匀，这时P点在海面上的重力为g_均，如图6中(f)。

现在比较上述4种归算方法。法耶改正(空间改正加上局部地形改正)相当于将外部质量压缩到大地水准面上，成为平面层。布格改正相当于将这个平面层的质量去掉，不作任何抵偿，这样显然会使地壳质量不足，因而经过布格改正后的重力异常大多是负值。均衡改正是将海面以外的质量压入海面下，而且调整地壳内部的密度以抵偿大陆的质量，一般使重力异常减小，而且变化比较均匀。由于这几种归算都是将地球质量作了一些调整，因此大地水准面都有变化；其中布格改正是将大地水准面外的质量去掉，不作任何抵偿；均衡改正较大地调整了地球的质量分布；所以这两种改正使大地水准面有很大形变。利用法耶改正和均衡改正，地球总质量不变；布格改正则改变了地球总质量。最后，不论哪一种归算方法都使地球质心位移。关于调整后的大地水准面位移，已作了粗略估算，结果表明。经过空间改正的重力异常引起的大地水准面形变最小，计算也简单，适用于地球形状和重力场的研究；缺点是和地形明显相关，重力异常内插和外推都有困难。布格异常和均衡异常由于对地球质量作了较大的调整，引起大地水准面的明显畸变，不适用于地球形状及其重力场的研究；但它们对于研究地壳构造具有重要意义，而且由于顾及了地形影响，变化比较平缓，适用于计算平均异常以及重力异常的内插和外推，可用于大地测量。