同态系统

同态系统(homomorphic system) 通过非线性变换将非线性组合信号变换为线性组合，便于进行线性处理的一类系统的总称。

同态系统定义

也就是说，这种系统服从关于输入运算□和输出运算〇的类似叠加定理的一种法则。因为它是非线性系统而推广应用了线性系统运算的叠加定理法则，故称之为服从广义叠加定理的非线性系统，也即同态系统，或称广义线性系统。图4表示这一系统。

同态系统还可以用图（b)所示的三个系统级联来表示。这种级联结构称为同态系统的典型表示。其中，第一个系统D_□服从输入为□运算和输出为+运算的广义叠加定理。

系统D_□的作用是将按□运算规则组合的信号x₁(n)和x₂(n)，变换成一般线性组合的D_□〔x₁（n)〕和D_□〔x₂（n)。由于系统D_□是由运算□和：确定的，故称为运算□的特征系统，第二个系统L是一般线性系统。第三个系统

输入和输出具有相同运算的同态系统，可以通过 其线性部分L，把所规定运算组合的输入矢量分离。故亦称为同态滤波器。

在信号处理的应用中，乘法同态系统和卷积同态系统是两类常见而又重要的服从广义叠加定理的非线性系统。它们都是输入和输出具有相同运算的同态系统。

同态系统同态变换

如果系统的输入和输出解释为矢量空间中的矢量，运算规则□和〇对应于矢量加法，则系统变换H〔·〕就是代数上从输入矢量空间到输出矢量空间的一种线性变换，称为同态变换。

同态系统同态滤波

利用广义叠加原理对同态系统进行滤波。

同态滤波是把频率过滤和灰度变换结合起来的一种图像处理方法，它依靠图像的照度/ 反射率模型作为频域处理的基础，利用压缩亮度范围和增强对比度来改善图像的质量。使用这种方法可以使图像处理符合人眼对于亮度响应的非线性特性，避免了直接对图像进行傅立叶变换处理的失真。

同态滤波的基本原理是：将像元灰度值看作是照度和反射率两个组份的产物。由于照度相对变化很小，可以看作是图像的低频成份，而反射率则是高频成份。通过分别处理照度和反射率对像元灰度值的影响，达到揭示阴影区细节特征的目的。

同态滤波处理的基本流程如下：

S(x,y)---->Log---->DFT---->频域滤波---->IDFT---->Exp---->T(x,y)

其中S(x,y)表示原始图像；T(x,y)表示处理后的图像；Log 代表对数运算；DFT 代表傅立叶变换（实际操作中运用快速傅立叶变换FFT）；IDFT 代表傅立叶逆变换（实际操作中运用快速傅立叶逆变换IFFT）；Exp 代表指数运算。

同态系统乘法同态系统

乘法同态系统（multiplicative homomorphic system)输入信号组合和输出信号组合均为运算乘，取幂，并服从广义叠加定理的系统。

输入和输出均为乘法运算的同态系统典型表示。

乘法同态系统典型应用之一是对图像信号的增强处理。图像信号的模型可以视为照度和反射率两个基本分量的乘积，对这些分量进行同态滤波，分别改变各个分量比例，就可以达到增加对比度和压缩动态范围的目的。

同态系统卷积同态系统

卷积同态系统的基本原理是：设由离散卷积组成的信号序列如图5，则其特征系D．应具有将信号的卷积运算变换为加法运算的特性，即应有如图6，可以知道Z变换和对数运算的结合具有上述性质。