斜线长定理

斜线长定理(theorem of lengthsof oblique lines)是立体几何的重要定理之一，从平面外一点向平面引垂线和斜线，则有：(1)若斜线长相等，则其射影长相等；(2)若斜线长较长，则其射影长较长。

斜线长定理详细介绍

斜线长定理(theorem of lengths of oblique lines)是立体几何的重要定理之一，从平面外一点向平面引垂线和斜线，则有：(1)若斜线长相等，则其射影长相等；(2)若斜线长较长，则其射影长较长。

斜线长定理基本介绍

斜线长定理 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：

1.射影相等的两条斜线段相等；

2.射影不等的两条斜线段中，射影较长的斜线段较长；

3.垂线段比任何一条斜线段都短。

斜线长定理斜线长定理的证明

斜线长定理是指自平面外一点引这平面的两条斜线和一条垂线，则投影相等，斜线长也相等；投影较长，斜线长也较长。

证明 设AB⊥α，AC、AD、AE是从点A到平面α的斜线，且BC=BD，BE>BC(见图2)。

∵AB⊥α，

∴AB⊥BC，AB⊥BD，AB⊥BE，

(1)在直角三角形ABC及ABD中

∵BC=BD，AB为公共边

∴△ABC≌△ABD，则AC= AD。

(2)∵BE> BC，在BE上截取BF= BC，连接AF

∵BF=BC，

∴AF=AC。

在AB和AE所作的平面内因∠AFE>90°，

∴AE>AF，因而AE>AC。

斜线长定理斜线长定理的逆定理

射影长定理是斜线长定理的逆定理。

从平面外一点向这平面引一条垂线和若千条斜线：

(1)相等斜线的射影相等；

(2)较长斜线的射影较长。

斜线长定理例题解析

【例1】P是直角△ABC所在平面外一点，且PA=PB= PC，又O是斜边AB的中点，求证：PO⊥平面ABC。

证明：作PO'⊥平面ABC于O'。

∵PA= PB=PC，由斜线长定理可知：AO'=BO' =CO' ，即O'是△ABC的外心。又由已知O是△ABC斜边AB的中点可知，O是△ABC的外心，

∴O与O'重合故PO'与PO重合，

∴PO⊥平面ABC。

说明：此题用直线与平面垂直的判定定理亦可证明，但不如用“同一法”证明简捷。