差值换元和比值换元

它们是微积分中常用的两种换元法。

1.差值换元（也称为代数换元）：差值换元是指通过引入一个新的变量，使得原方程中的一部分可以简化或转化为更容易处理的形式。这种方法常用于解决包含复杂代数表达式的方程或函数。举个例子，假设我们要计算函数 f(x) = x^2 + 3x + 2 的积分。我们可以通过差值换元来简化计算。设 u = x + 1，那么 x = u - 1。将 x 的表达式代入原方程中，得到 f(u-1) = (u-1)^2 + 3(u-1) + 2 = u^2 + u。然后对 f(u) 进行积分，得到 F(u) = (1/3)u^3 + (1/2)u^2 + C。最后将 u 换回 x，得到原方程的积分结果 F(x) = (1/3)(x+1)^3 + (1/2)(x+1)^2 + C。

2.比值换元：比值换元是指通过引入一个新的变量，使得原方程中的比值关系可以转化为更容易处理的形式。这种方法常用于解决包含三角函数或指数函数的方程或函数。举个例子，假设我们要计算函数 f(x) = ∫(sinx)/(1+cosx) dx 的积分。我们可以通过比值换元来简化计算。设 u = cosx，那么 du = -sinx dx。将 du 的表达式代入原方程中，得到 f(u) = ∫(-1)/(1+u) du = -ln|1+u| + C。最后将 u 换回 x，得到原方程的积分结果 f(x) = -ln|1+cosx| + C。总结起来，差值换元和比值换元是微积分中常用的两种换元法，可以帮助简化复杂的方程或函数的计算过程，使其更易处理和求解。

一、和差换元

在题中有两个变量x、y时，可以设x＝a＋b，y＝a－b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。

二、均值换元

如遇到

x＋y＝S

形式时，设

x＝S/2＋t

y＝S/2－t

比(差)值换元的目的也是消参、减元,就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系,然后利用两个极值点之比(差)作为变量,从而实现消参、减元的目的.设法用比值或差值(一般用t表示)表示两个极值点,继而将所求解问题转化为关于t的函数问题求解.