角平分线的定义和判定

从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。

1.三角形的三条角平分线交于一点，且到各边的距离相等.这个点称为内心 (即以此点为圆心可以在三角形内部画一个内切圆)。

2.三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。如图1，若AD是△ABC的角平分线，则 BD/DC=AB/AC 。证明：作CE∥AD交BA延长线于E。∵CE∥AD∴△BDA∽△BCE∴BA/BE=BD/BC∴ BA/AE=BD/DC∵CE∥AD∴∠BAD=∠E,∠DAC=∠ACE∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD∴ ∠BAD=∠CAD=∠ACE=∠E即∠ACE=∠E∴ AE=AC又∵BA/AE=BD/DC∴BA/AC=BD/DC