不定方程的通解公式推导过程

不定方程的通解公式为：ax+by=c，其中a、b、c是非零常数。

如果c=am+bn，那么ax+by=am+bn，a(x-m)+b(y-n)=0。设x-m=bk，abk+b(y-n)=0，y-n=-ak。所以(x,y)=(bk+m,-ak+n)。以上方法求出方程参数解。如果a、b、c是整数，选择整数m、n，求出x、y的整数解。不定方程，即丢番图方程：有一个或者几个变量的整系数方程，它们的求解仅仅在整数范围内进行。最后这个限制使得丢番图方程求解与实数范围方程求解有根本的不同。丢番图方程又名不定方程、整系数多项式方程，是变量仅容许是整数的多项式等式。

定理1:

现有不定方程a * x + b * y = c，a,b,c均为整数，若d=GCD(a,b)(GCD表示取a,b的最大公约数),d|c(d整除c)，那么二元一次不定方程必定有解，且有无数解。

例子:3x + 4y = 5（随便定的）有解，因为1= GCD(3；

4) ,1 | 5。易知当x=-5，y=5时，即得整数解。

这定理相关的数学证明就参看数论相关的资料，这里只阐述结论。（下同）

定理2:

若不定方程a * x + b * y = c有整数解，则通解的形式必定为X=x0 + b/d * n, Y = y0 + a/d * n。其中x0,y0为不定方程的一个整数解。