高等数学极限基础知识

高等数学中的极限是一个重要的概念，它在微积分和数学分析等领域起着核心作用。

以下是高等数学极限的基础知识：

1. 极限的定义：设函数 f(x) 在某个点 a 的某个邻域内有定义，如果对于给定的任意正数 ε，存在另一个正数 δ，使得当 x 在 (a-δ, a+δ) 的区间内且不等于 a 时，有 |f(x) - L| < ε 成立，则称函数 f(x) 在 x 趋于 a 时的极限为 L，记作 lim(x→a) f(x) = L。这里的 L 可以是一个实数或者正负无穷大。

2.无穷大与无穷小：当函数 f(x) 在某一点 a 的某个邻域内，当 x 趋于 a 时，若 f(x) 的绝对值可以任意大，则称 f(x) 是 x 趋于 a 时的一个无穷大。若 f(x) 的绝对值可以任意接近零，则称 f(x) 是 x 趋于 a 时的一个无穷小。

3.极限的性质：a.唯一性：若函数 f(x) 在 x 趋于 a 时存在极限，那么该极限是唯一的。b.保号性：若函数 f(x) 在 x 趋于 a 时的极限存在且大于零（或小于零），那么在 a 的某个邻域内，函数 f(x) 的取值始终大于零（或小于零）。c.有界性：若函数 f(x) 在 x 趋于 a 时的极限存在且有限，那么在 a 的某个邻域内，函数 f(x) 的取值都是有界的。

4.极限运算法则：a.基本四则运算法则：设函数 f(x) 和 g(x) 在某点 a 的某个邻域内有定义，且 lim(x→a) f(x) = L 和 lim(x→a) g(x) = M，则有以下结论：lim(x→a) [f(x)±g(x)] = L±Mlim(x→a) [f(x)·g(x)] = L·Mlim(x→a) [f(x)/g(x)] = L/M （当 M ≠ 0 时）b.复合函数法则：如果函数 g(x) 在 x 趋于 a 时的极限为 b，函数 f(x) 在 b 处存在极限 L，则复合函数 f(g(x)) 在 x 趋于 a 时的极限为 L。

5.重要的极限：a.自然对数的基数 e 的极限：lim(x→∞) (1+1/x)^x = eb.正弦函数的极限：lim(x→0) sin(x)/x = 1c.三角函数的极限：lim(x→0) (1-cos(x))/x^2 = 1/2 这些是高等数学中极限的基础知识，极限还涉及到数列极限、级数的收敛性等内容。通过对极限的研究，我们可以更深入地理解和应用微积分和数学分析的相关概念和方法。

高等数学极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。

方法

①利用函数连续性：

（就是直接将趋向值带入函数自变量中，此时要要求分母不能为0）

②恒等变形

当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，可以通过下面几个小方法解决：

第一：因式分解，通过约分使分母不会为零。

第二：若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。

第三：以上我所说的解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的，如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）

当然还会有其他的变形方式，需要通过练习来熟练。

③通过已知极限

特别是两个重要极限需要牢记。

④采用洛必达法则求极限

洛必达法则是分式求极限的一种很好的方法，当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。

洛必达法则：符合形式的分式的极限等于分式的分子分母同时求导。

1.极限定义：设函数 f(x) 在某一点 c 的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数 ε，存在另一个正数 δ，使得当 x 落在 (c-δ, c+δ) 范围内时，都有 |f(x) - L| < ε 成立，那么称 f(x) 当 x 趋近于 c 时的极限为 L，记作 lim(x→c) f(x) = L。

2.极限的性质：极限具有一些重要的性质，例如唯一性、局部有界性、保号性、四则运算性质、复合函数性质等。这些性质对于计算和证明极限的性质非常有用。

3.常见的极限：在高等数学中，有一些常见的极限形式，包括无穷大极限、无穷小极限、级数极限、复数极限等。了解这些极限的性质和计算方法对于解决数学问题非常重要。

4.极限的计算方法：计算极限有多种方法，如代入法、夹逼准则、拉'Hospital法则、泰勒展开等。熟练掌握这些计算方法可以帮助我们更准确、高效地计算极限。

5.极限与连续性：在微积分中，极限与函数的连续性密切相关。函数在某一点处的极限存在且与该点处的函数值相等时，该函数在该点处是连续的。理解极限与连续性的关系对于理解微积分的核心思想非常重要。

一、函数和极限

映射->函数

数列极限->函数极限(无限接近)

函数极限趋近于0->无穷小,函数永远增长->无穷大

函数极限计算和推导方法

无穷小阶数比较

函数映射的伴随增量无穷小变化相随-->函数连续性

函数连续性的推导原则

二、导数和微分

导数：函数伴随因变量无穷小变化的函数值变化规则

函数求导法则

高阶导数

隐函数求导、参数方程求导

微分:函数伴随因变量无穷小变化的函数求值

微分计算方法

三、微分中值定理和导数应用

罗尔定理:极点对导数的反推。

微分中值定理：由函数曲线切线->拉格朗日中值公式:用导数求函数值

中值公式证明反推-->双函数的柯西中值定理:两个函数导数之间的关系。

分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法：洛必达法则

泰勒公式：用多级导数多项式来求函数值。

函数单调性与函数曲线凹凸,函数曲线凹凸与拐点

函数极值

弧微分：用切线求微弧线段长度

弧度：角度除以微弧线-->曲率圆，曲率半径、曲率中心