泰勒公式通项

泰勒公式是用于近似表示一个函数在某点附近的展开式。

泰勒公式的通项表达如下：泰勒级数通项（展开式）：f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)(x - a)^2/2! + f'''(a)(x - a)^3/3! + ... + fⁿ(a)(x - a)^n! + ...其中：- f(x) 表示要近似的函数。- f(a) 表示在点a处的函数值。- f'(a) 表示在点a处的一阶导数值。- f''(a) 表示在点a处的二阶导数值。- f'''(a) 表示在点a处的三阶导数值。- fⁿ(a) 表示在点a处的n阶导数值。- x 是你想要在哪个点附近展开函数的值。- a 是展开点，即你希望展开的中心点。展开式中的每一项都是函数在a点处的导数值与(x - a)的幂的乘积，除以相应的阶乘。你可以根据需要选择多少项来近似函数，通常会根据精度要求来决定。泰勒公式的这个通项表达式允许你在不知道原始函数的具体形式的情况下，使用导数信息来进行函数的局部近似。

泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：

f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!??(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!??(x-x.)^3+……+f(n)(x.)!??(x-x.)^n+Rn

其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!??(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。

（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。）