三重积分公式推导

推导如下：

设三元函数f(x,y,z)在区域v内具有一阶连续偏导数，将v分成以原点为心，以有向线段p为半径的n个互不重叠的球面域s1，s2，…，sn，则在每个球面域上，f(x,y,z)可以表示为f(ρcosθ，ρsinθ，φ)的形式，其中0≤θ 2023-12-26 05:12:53

∵x=rsinφcosθ,y=rsinφsinθ,z=rcosφ│αx/αr αx/αφ αx/αθ│ │sinφcosθ rcosφcosθ -rsinφsinθ │∴α(x,y,z)/α(r,φ,θ)=│αy/αr αy/αφ αy/αθ│=│sinφsinθ rcosφsinθ rsinφcosθ│=r²sinφ│αz/αr αz/αφ αz/αθ│ │cosφ -rsinθ 0 │∵dxdydz=│α(x,y,z)/α(r,φ,θ)│drdφdθ=r²sinφdrdφdθ∴∫∫∫f(x,y,z)dxdydz=∫∫∫F(r,φ,θ)r²sinφdrdφdθ.