曲线的弧长用积分怎么算

曲线的弧长可以使用以下公式通过积分来计算：

L = ∫[a,b] √[1 + (dy/dx)²] dx

设曲线函数为 y = f(x) = x³，从点(0,0)到点(1,1)的曲线的弧长，那么公式变为：

L = ∫[0,1] √[1 + (3x²)²] dx

L = ∫[0,1] √(1 + 9x^4) dx

使用变量代换u = 1 + 9x^4，然后求导得出du = 36x³ dx，将积分中的 dx 替换为 (1/36x³)du 。

L = (1/36)∫(1+9x^4)^(1/2)du = (1/54)[(1+9x^4)^(3/2)]0~1

对弧长的曲线积分的计算：ds=√(dx²+dy²)。在数学中，曲线积分是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是特定的曲线，称为积分路径。

曲线积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积分或围道积分。曲线积分可分为：第一类曲线积分和第二类曲线积分。曲线积分的区别主要在于积分元素的差别。

曲线的弧长可以用积分来计算。假设曲线方程为 $y = f(x)$，则从 $x=a$ 到 $x=b$ 曲线的一段弧长可以表示为

$$

\\Delta s = \\sqrt{1 + [f'(x)]^2} \\Delta x

$$

将 $\\Delta x$ 均分为 $n$ 份，令 $\\Delta x = \\frac{b-a}{n}$，则可以得到

$$

s = \\lim_{n \ o +\\infty} \\sum^{n}_{i=1} \\sqrt{1+ [f'(\\xi_i)]^2} \\Delta x

$$

其中 $\\xi_i$ 为第 $i$ 个子区间上的一点。根据积分定义，上式等于

$$

s = \\int_{a}^{b} \\sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx

$$

这就是曲线弧长的用积分计算公式。

曲线弧长计算， 也是微积分几何应用的重要方面，从微积分的角度看，什么是曲线的弧长， 就是把曲线分隔成无穷多的小段， 每段的弧线长度按连接起点和终点的直线段算， 当小段的间隔趋于无穷小时，如果这些线段的长度和有极限值存在， 那这个极限值，就是这个曲线的弧长。