不连续的函数一定没有极限

显然错误，例如函数y=1/x，在x=0处的函数图象不连续，但它的极限存在函数在某点不连续,则函数在此点可能左右极限都存在，但是如果左右极限不相等，极限不存在；如果左右极限相等，则极限存在。

连续（Continuity）的概念最早出现于数学分析，后被推广到点集拓扑中。假设f:X->Y是一个拓扑空间之间的映射，如果f满足下面条件，就称f是连续的：对任何Y上的开集U, U在f下的原像f^(-1)(U)必是X上的开集。若只考虑实变函数，那么要是对于一定区间上的任意一点，函数本身有定义，且其左极限与右极限均存在且相等，则称函数在这一区间上是连续的。分为左连续和右连续。在区间每一点都连续的函数，叫做函数在该区间的连续函数。若一个函数在x0上的左右极限不同，则此函数在x0上不存在极限。一个函数是否在x0处存在极限，与它在x=x0处是否有定义无关，只要求y=f(x)在x0附近有定义即可。